Come possono onde semplici formare un segnale complesso?
Dove apparirà il picco spettrale della terza armonica?
- Seleziona segnale e spettro.
- Imposta la fondamentale a 2 Hz.
- Modifica l’ampiezza della terza armonica; confronta la traccia temporale e la DFT.
Che cosa misurare
Frequenza di campionamento f_s, N, distanza tra gli intervalli Δf=f_s/N, limite di Nyquist f_s/2 e frequenze dei picchi.
L’idea alla base
La DFT proietta i campioni su funzioni di base sinusoidali. Lo spettro è calcolato dal segnale sintetico, non è decorativo. Un’osservazione di un secondo distingue intervalli di 1 Hz. Un numero non intero di cicli causa dispersione spettrale. Le frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento possono apparire come frequenze più basse per aliasing; i circuiti reali usano filtri antialias.
s(t)=sin(2πf₀t)+A₃sin(6πf₀t); X_k=Σₙ sₙ exp(−i2πkn/N)f₀ in Hz; A₃ è l’ampiezza della terza armonica; n=0…N−1.
Costruisci il ragionamento
- Scrivi la perturbazione come y = A sin(kx − ωt + φ), con k = 2π/λ e ω = 2πf.
- Mantenere costante la fase dà v = ω/k = fλ. Con fasi diverse si sommano gli spostamenti, non direttamente le ampiezze.
- Due onde in versi opposti formano nodi dove la somma è nulla in ogni istante.
Esempio svolto 1
Per f₀=2 Hz e A₃=0.3, i picchi sono a 2 e 6 Hz, con ampiezze 1 e 0.3.
Esempio svolto 2
Per f_s=256 Hz e N=256, Δf=1 Hz e la frequenza di Nyquist è 128 Hz. Una componente a 150 Hz appare a 106 Hz per aliasing.
Applicazioni
Lo stesso linguaggio descrive strumenti musicali, comunicazioni, onde sismiche e misure interferometriche. Lo spettro rivela strutture nascoste nella traccia temporale.
Errore comune
La configurazione che si propaga non è il moto di una parte del mezzo. L’interferenza ridistribuisce l’energia. Una DFT ha risoluzione finita e limite di Nyquist.
Un’indagine ulteriore
A f_s costante, come cambia Δf raddoppiando il tempo di osservazione?
Verifica la comprensione
Per un segnale idealmente limitato in banda sotto 10 Hz, la frequenza di campionamento deve superare…
- 10 Hz
- 20 Hz
- 5 Hz
Spiegazione
Il campionamento ideale richiede f_s>2f_max, con filtraggio e margine nella pratica. Raddoppiare il tempo di osservazione dimezza Δf.
Limiti del modello
Modello didattico analitico lineare, non un solutore numerico dei fluidi. Nessuno smorzamento, dispersione o accoppiamento non lineare.